Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp

7,466
722
55
Hơn na, cũng t (1.17) ta còn thu được dt =
2
2
1
.
1
t
dv kv
v
v
(2.2)
T (1.24) ta có arg ( , )
t
dvzt
2
2
1
vdt
kv
=
2
2
1
t
dv
v
(do (1.41))
Mt khác, ta có
(,)
arg
vzt
z
=
0
arg ( , )
t
vz d
2
0
(,)
2
1()(,)
t
vz
d
kvz

2
0
(,)
2
1()(,)
vz
d
kvz

=
2
0
2(,)
1(,)
t
dvz
vz
=
2
0
2
1
z
du
u
=
1
ln
1
r
r
, z = r, z D.
Cho t
và s dng kết qu
lim ( , )
t
t
ev zt

= f(z) ta được
()
arg
f
z
z
1
ln
1
r
r
.
Bước 2: Ta s chng minh tính cht ch ca đánh giá (2.1).
Ta cn ch ra rng vi mi z
D\{0}, có th tìm được hàm k liên tc vi ()kt = 1 trên
[0,+
) sao cho hàm v = v(z,t) được cho trong (1.15) tho mãn Im[k(t)v(z,t)] = (,)vzt ,
t
[0,+) (2.3)
Tht vy, nếu (2.3) tho mãn vi ()kt = 1 thì Re[k(t)v(z,t)] = 0,
t
[0,+ ). Khi đó (1.17), (1.24) tr thành:
(,)vzt
t
=
2
2
1(,)
(,)
1(,)
vzt
vzt
vzt
(2.4)
arg ( , )vzt
t
=
2
2(,)
1(,)
vzt
vzt
(2.5)
Ly tích phân t 0 đến t ca (2.4) ta được
0
ln
t
t
dvdt
=
2
2
0
1
1
t
v
dt
v
=
2
2
0
2
(1 )
1
t
v
dt
v

= -t +
2
2
0
2
1
t
v
dt
v
2
2
1
.
1
t
dv v
dt
v
v

(do (2.2) và Re(kv) = 0) (2.6)
Hơn nữa, cũng từ (1.17) ta còn thu được dt = 2 2 1 . 1 t dv kv v v    (2.2) Từ (1.24) ta có arg ( , ) t dvzt ≤ 2 2 1 vdt kv  = 2 2 1 t dv v   (do (1.41)) Mặt khác, ta có (,) arg vzt z = 0 arg ( , ) t vz d       ≤ 2 0 (,) 2 1()(,) t vz d kvz      ≤ 2 0 (,) 2 1()(,) vz d kvz       = 2 0 2(,) 1(,) t dvz vz       = 2 0 2 1 z du u   = 1 ln 1 r r   , z = r, z  D. Cho t   và sử dụng kết quả lim ( , ) t t ev zt  = f(z) ta được () arg f z z ≤ 1 ln 1 r r   . Bước 2: Ta sẽ chứng minh tính chặt chẽ của đánh giá (2.1). Ta cần chỉ ra rằng với mỗi z  D\{0}, có thể tìm được hàm k liên tục với ()kt = 1 trên [0,+  ) sao cho hàm v = v(z,t) được cho trong (1.15) thoả mãn Im[k(t)v(z,t)] = (,)vzt , t [0,+) (2.3) Thật vậy, nếu (2.3) thoả mãn với ()kt = 1 thì Re[k(t)v(z,t)] = 0, t  [0,+ ). Khi đó (1.17), (1.24) trở thành: (,)vzt t   = 2 2 1(,) (,) 1(,) vzt vzt vzt    (2.4) và arg ( , )vzt t   = 2 2(,) 1(,) vzt vzt (2.5) Lấy tích phân từ 0 đến t của (2.4) ta được 0 ln t t dvdt  = 2 2 0 1 1 t v dt v     = 2 2 0 2 (1 ) 1 t v dt v    = -t + 2 2 0 2 1 t v dt v  mà 2 2 1 . 1 t dv v dt v v    (do (2.2) và Re(kv) = 0) (2.6)
Suy ra
0
ln
t
t
dvdt
= -t +
2
0
2
1
t
t
v
dv
v
Do đó
(,)
ln
vzt
z
= -t +
2
2
1(,)
ln
1
vzt
z
( đây ta đã s dng v(z,0) = z)
hay
2
(,)
1(,)
vzt
vzt
=
2
1
t
ez
z
. Phương trình này xác định duy nht (,)vzt vì hàm
2
1
x
x
tăng t 0 đến
khi x [0,1) ( chú ý rng (,0)vz = z ). S xác định (,)vzt bây gi có th được s dng để
xác định
(,)
arg
vzt
z
vi điu kin ban đầu v(z,0) = z.
Tht vy, t (2.5) và (2.6) ta suy ra
arg ( , )
t
dvzt =
2
2(,)
1(,)
t
dvzt
vzt
.
Ly tích phân hai vế ca đẳng thc này t 0 đến t ta được
(,)
arg
vzt
z
=
1
ln
1
z
z
-
1(,)
ln
1(,)
vzt
vzt
(2.7)
( đây ta đã s dng điu kin v(z,0) = z). T đó xác định được
(,)
arg
vzt
z
vi điu kin ban đầu
v(z,0) = z.
Cđun và argument ca v(z,t) đều được xác định rõ.
Vì thế, ta xác định được hàm v(z,t).
Theo (2.3) hàm k được xác định bi phương trình k(t)v(z,t) = -i
(,)vzt
,
t 0. Hàm này liên tc trên [0,+
) và tho mãn điu kin ()kt = 1 trên [0,+).
Rõ ràng rng phương trình vi phân Loewner (1.15), ng vi hàm k, có nghim v(z,t) xác
định trên.
Hơn na, t (2.7) và
lim ( , )
t
t
ev zt

= f(z) ta thu được
()
arg
f
z
z
=
1
ln
1
z
z
. Chng minh này
ch ra tính cht ch ca cn trên trong (2.1). Hoàn toàn tương t, chúng ta có th chng minh
tính cht ch ca cn dưới trong (2.1).
Mt h qu trc tiếp ca B đề 2 là có th đánh giá cn ca
'( )
arg
()
zf z
f
z
, f S mt cách d
dàng. Nhánh được chn đây tho mãn
0
'( )
arg
()
z
zf z
fz
= 0. Kết qu này dùng để xác định bán
kính sao ca f trong
S.
Suy ra 0 ln t t dvdt  = -t + 2 0 2 1 t t v dv v    Do đó (,) ln vzt z = -t + 2 2 1(,) ln 1 vzt z   (ở đây ta đã sử dụng v(z,0) = z) hay 2 (,) 1(,) vzt vzt = 2 1 t ez z   . Phương trình này xác định duy nhất (,)vzt vì hàm 2 1 x x  tăng từ 0 đến  khi x  [0,1) ( chú ý rằng (,0)vz = z ). Sự xác định (,)vzt bây giờ có thể được sử dụng để xác định (,) arg vzt z với điều kiện ban đầu v(z,0) = z. Thật vậy, từ (2.5) và (2.6) ta suy ra arg ( , ) t dvzt = 2 2(,) 1(,) t dvzt vzt   . Lấy tích phân hai vế của đẳng thức này từ 0 đến t ta được (,) arg vzt z = 1 ln 1 z z   - 1(,) ln 1(,) vzt vzt   (2.7) (ở đây ta đã sử dụng điều kiện v(z,0) = z). Từ đó xác định được (,) arg vzt z với điều kiện ban đầu v(z,0) = z. Cả môđun và argument của v(z,t) đều được xác định rõ. Vì thế, ta xác định được hàm v(z,t). Theo (2.3) hàm k được xác định bởi phương trình k(t)v(z,t) = -i (,)vzt , t ≥ 0. Hàm này liên tục trên [0,+  ) và thoả mãn điều kiện ()kt = 1 trên [0,+). Rõ ràng rằng phương trình vi phân Loewner (1.15), ứng với hàm k, có nghiệm v(z,t) xác định ở trên. Hơn nữa, từ (2.7) và lim ( , ) t t ev zt  = f(z) ta thu được () arg f z z = 1 ln 1 z z   . Chứng minh này chỉ ra tính chặt chẽ của cận trên trong (2.1). Hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể chứng minh tính chặt chẽ của cận dưới trong (2.1). Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2 là có thể đánh giá cận của '( ) arg () zf z f z , f  S một cách dễ dàng. Nhánh được chọn ở đây thoả mãn 0 '( ) arg () z zf z fz  = 0. Kết quả này dùng để xác định bán kính sao của f trong S.
B đề 3: Vi mi f S thì
'( )
arg
()
zf z
f
z
1
ln
1
r
r
, z = r, z D. (2.8)
Đánh giá này cht ch vi mi z D.
Chng minh
C định a D\{0}, ta xét hàm f
a
(z) =
2
()()
1
(1 ) '( )
za
f
fa
az
afa
, z D.
Khi đó f
a
S (xem trong chng minh Định lí 5).
Theo B đề 2 ta thu được
()
arg
a
f
z
z
1
ln
1
r
r
, z D.
Mt khác, d thy rng
()
a
f
a
a
=
2
() 1
.
af '( )
1
fa
a
a
đặc bit
()
arg
a
f
a
a
=
2
() 1
arg( . )
af '( )
1
fa
a
a
=
af '( )
arg
()
a
f
a
.
T đó suy ra
af '( )
arg
()
a
f
a
1
ln
1
a
a
. Suy ra (2.8) (đpcm).
Tính cht ch trong (2.8) được suy ra t tính cht ch trong (2.1).
Bây gi ta chng minh tính cht 5.
Nhn thy rng khi
1
ln
1
=
2
thì =
2
2
1
1
e
e
= tanh
4
T B đề 3 ta suy ra Re
'
()
()
zf z
f
z
> 0 khi z < . Khi đó theo Tính cht 1 thì f K, tc là f
biến mi hình tròn
ρ
D thành mt tp hình sao.
Chú ý rng kết qu này sai khi
z .
Vì vy r*(S):= tanh
4
là bán kính hình sao ca f trong S.
Tính cht 6:
a) Cho f
S* và z = r < 1 thì
2
(1 )
r
r
()
f
z
2
(1 )
r
r
(2.9)
3
1
(1 )
r
r
'( )
f
z
3
1
(1 )
r
r
(2.10)
Các đẳng thc xy ra khi f là mt phép quay thích hp ca hàm Koebe.
Bổ đề 3: Với mỗi f  S thì '( ) arg () zf z f z ≤ 1 ln 1 r r   , z = r, z  D. (2.8) Đánh giá này chặt chẽ với mọi z  D. Chứng minh Cố định a  D\{0}, ta xét hàm f a (z) = 2 ()() 1 (1 ) '( ) za f fa az afa     , z  D. Khi đó f a  S (xem trong chứng minh Định lí 5). Theo Bổ đề 2 ta thu được () arg a f z z ≤ 1 ln 1 r r   , z  D. Mặt khác, dễ thấy rằng () a f a a   = 2 () 1 . af '( ) 1 fa a a và đặc biệt () arg a f a a   = 2 () 1 arg( . ) af '( ) 1 fa a a = af '( ) arg () a f a . Từ đó suy ra af '( ) arg () a f a ≤ 1 ln 1 a a   . Suy ra (2.8) (đpcm). Tính chặt chẽ trong (2.8) được suy ra từ tính chặt chẽ trong (2.1). Bây giờ ta chứng minh tính chất 5. Nhận thấy rằng khi 1 ln 1     = 2  thì  = 2 2 1 1 e e     = tanh 4  Từ Bổ đề 3 ta suy ra Re ' () () zf z f z > 0 khi z < . Khi đó theo Tính chất 1 thì f  K, tức là f biến mỗi hình tròn ρ D thành một tập hình sao. Chú ý rằng kết quả này sai khi z ≥ . Vì vậy r*(S):= tanh 4  là bán kính hình sao của f trong S. Tính chất 6: a) Cho f  S* và z = r < 1 thì 2 (1 ) r r ≤ () f z ≤ 2 (1 ) r r (2.9) 3 1 (1 ) r r   ≤ '( ) f z ≤ 3 1 (1 ) r r   (2.10) Các đẳng thức xảy ra khi f là một phép quay thích hợp của hàm Koebe.
Các kết qu này hoàn toàn ging trong S.
b) Cho f
K và
z
= r < 1 thì
i)
1
r
r
()
f
z
1
r
r
(2.11)
ii)
2
1
(1 )r
'( )
f
z
2
1
(1 )r
(2.12)
Các đẳng thc xy ra khi f (z) =
1
z
z
, C,
= 1.
Chng minh
i) Vì f K nên zf’(z) S* (theo Tính cht 3)
Suy ra
2
(1 )
r
r
'( )zf z
2
(1 )
r
r
(theo (2.9)). Suy ra (2.12).
ii) Ta
()
f
z
0
'( )
r
ii
f
eed

2
0
1
(1 )
r
d
(theo bt đẳng thc bên phi ca (2.12))
1
r
r
Bây gi ta chng minh bt đẳng thc bên trái ca (2.11).
C định z
D. Vì f K nên đon thng ni 0 và f(z) nm trong f(D). Nếu ta gi
nghch nh ca đon thng này thì
là mt đường cong đơn ni 0 và z trong D.
Hình 10
T đó suy ra
()
f
z = '( )
f
d
0
'( )
r
i
f
ed
2
0
1
(1 )
r
d
(theo bt đẳng thc bên trái ca (2.12))
Các kết quả này hoàn toàn giống trong S. b) Cho f  K và z = r < 1 thì i) 1 r r ≤ () f z ≤ 1 r r  (2.11) ii) 2 1 (1 )r ≤ '( ) f z ≤ 2 1 (1 )r (2.12) Các đẳng thức xảy ra khi f (z) = 1 z z   ,   C,  = 1. Chứng minh i) Vì f  K nên zf’(z)  S* (theo Tính chất 3) Suy ra 2 (1 ) r r ≤ '( )zf z ≤ 2 (1 ) r r (theo (2.9)). Suy ra (2.12). ii) Ta có () f z ≤ 0 '( ) r ii f eed     ≤ 2 0 1 (1 ) r d     (theo bất đẳng thức bên phải của (2.12)) ≤ 1 r r Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức bên trái của (2.11). Cố định z  D. Vì f  K nên đoạn thẳng nối 0 và f(z) nằm trong f(D). Nếu ta gọi  là nghịch ảnh của đoạn thẳng này thì  là một đường cong đơn nối 0 và z trong D. Hình 10 Từ đó suy ra () f z = '( ) f d     ≥ 0 '( ) r i f ed     ≥ 2 0 1 (1 ) r d     (theo bất đẳng thức bên trái của (2.12))
1
r
r
Nhn thy rng các đẳng thc xy ra trong (2.11) và (2.12) khi và ch khi zf’(z) là mt
phép quay thích hp ca hàm Koebe. T đây ta có f (z) =
1
z
z
, C,
= 1.
Tính cht 7:
i) Nếu f
S* thì f(D) cha hoàn toàn đĩa {w:
w
<
1
4
}. Kết qu này hoàn toàn ging trong S.
ii) Nếu f
K thì f(D) cha hoàn toàn đĩa {w: w <
1
2
}.
Chng minh
Kết qu này d dàng chng minh được khi cho r 1 trong bt đẳng thc bên trái ca
(2.11).
Ngoài ra, kết qu này còn có th được chng minh mt cách độc đáo bng cách s dng
Định lí 4.
Ta s ch ra rng, nếu w
f(D) thì w
1
2
.
Gi khai trin ca f trong
S là f(z) = z +
2
2
az
+ …, z D.
Gi g(z):=
2
[f(z) - w] =
22
2
[ w z +...]za =
2
2w ...wz
Ta có g(0) =
2
w
; g’(0) = -2w và g(z) 0 trên D.
Ta s chng minh g(z) đơn dip trên D. Tht vy:
Nếu g(
1
z ) = g(
2
z ) thì f(
1
z ) = f(
2
z ) hoc
12
1
[f(z )+f(z )]
2
= w (điu này không th xy ra được
vì f
K và w f(D)). Suy ra
1
z =
2
z (do f đơn dip). Vy g đơn dip trên D.
Gi h(z) =
2
()
2w
wgz
= z +…, z D. Ta s chng minh h S.
• Ta có h(0) = 0 (vì g(0) =
2
w ) và h’(0) = 1 (vì g’(0) = -2w ).
D thy h đơn dip trên D (do g đơn dip trên D).
T trên suy ra h
S.
Mt khác, h(z)
1
w
2
(do g(z) 0 trên D), nên theo Định lí 4 ta suy ra được
2
w
1
4
hay
w
1
2
(đpcm).
≥ 1 r r Nhận thấy rằng các đẳng thức xảy ra trong (2.11) và (2.12) khi và chỉ khi zf’(z) là một phép quay thích hợp của hàm Koebe. Từ đây ta có f (z) = 1 z z   ,   C,  = 1. Tính chất 7: i) Nếu f  S* thì f(D) chứa hoàn toàn đĩa {w: w < 1 4 }. Kết quả này hoàn toàn giống trong S. ii) Nếu f  K thì f(D) chứa hoàn toàn đĩa {w: w < 1 2 }. Chứng minh Kết quả này dễ dàng chứng minh được khi cho r  1 trong bất đẳng thức bên trái của (2.11). Ngoài ra, kết quả này còn có thể được chứng minh một cách độc đáo bằng cách sử dụng Định lí 4. Ta sẽ chỉ ra rằng, nếu w  f(D) thì w ≥ 1 2 . Gọi khai triển của f trong S là f(z) = z + 2 2 az + …, z  D. Gọi g(z):= 2 [f(z) - w] = 22 2 [ w z +...]za = 2 2w ...wz   Ta có g(0) = 2 w ; g’(0) = -2w và g(z) ≠ 0 trên D. Ta sẽ chứng minh g(z) đơn diệp trên D. Thật vậy: Nếu g( 1 z ) = g( 2 z ) thì f( 1 z ) = f( 2 z ) hoặc 12 1 [f(z )+f(z )] 2 = w (điều này không thể xảy ra được vì f  K và w f(D)). Suy ra 1 z = 2 z (do f đơn diệp). Vậy g đơn diệp trên D. Gọi h(z) = 2 () 2w wgz = z +…, z  D. Ta sẽ chứng minh h  S. • Ta có h(0) = 0 (vì g(0) = 2 w ) và h’(0) = 1 (vì g’(0) = -2w ). • Dễ thấy h đơn diệp trên D (do g đơn diệp trên D). Từ trên suy ra h  S. Mặt khác, h(z) ≠ 1 w 2 (do g(z) ≠ 0 trên D), nên theo Định lí 4 ta suy ra được 2 w ≥ 1 4 hay w ≥ 1 2 (đpcm).
Kết qu bên trên hoàn toàn cht ch vì hàm ()z =
1
z
z
= z +
2
z + …là mt ánh x bo giác
ca D vào na mt phng Re
()z >
1
2
(đây là mt tp li). Ta thy rõ trong Hình 2.
2.1.2. Cn trên đối vi môđun ca h s trong khai trin hàm li
và hàm hình sao
Phng đoán Bieberbach trong
S cũng đúng trong S*, được chng minh ln đầu tiên năm
1920 bi R.Nevanlinna.
Định lí 13: Nếu f S* và có khai trin f(z) = z +
2
2
az + …+
n
n
az +…, z D thì
n
a n, n = 2,
3,….Đẳng thc xy ra khi f là mt phép quay ca hàm Koebe.
Chng minh: Trước khi chng minh định lí này ta s chng minh b đề sau.
B đề 4 (b đề Caratheodory): Gi s ψ(z) gii tích trên D, có Reψ(z) > 0 trên D và ψ(z) = 1
+
1
n
n
n
bz
thì
n
b
2, n = 1, 2,… (2.9)
Chng minh
Gi C = {z:
i
zre
, 0 < r < 1, 0 2 }. Theo công thc tích phân Cauchy ta có
n
b =
1
1()
2
n
C
z
dz
iz
=
2
0
1
()
2
iin
n
re e d
r

Suy ra
n
b
n
r =
2
0
1
()
2
iin
re e d

(2.10)
Mt khác ta có 0 =
2
0
1
()
2
iin
re e d


(2.11)
Cng theo vế (2.10) và (2.11) ta được
n
b
n
r =
2
0
1
2Re ( )
2
iin
re e d

=
2
0
1
Re ( )
iin
re e d

Suy ra
n
n
br
2
0
1
Re ( )
i
re d
= 2
Cho r
1 ta được
n
b 2, n = 1, 2,… (đpcm)
Ta thy hàm
ψ(z) =
1
1
z
z
= 1 + 2
1
n
n
z
tho mãn điu kin ca B đề 4. Do đó, đánh giá
trong (2.9) hoàn toàn cht ch.
Bây gi ta chng minh định lí 13.
Kết quả bên trên hoàn toàn chặt chẽ vì hàm ()z = 1 z z  = z + 2 z + …là một ánh xạ bảo giác của D vào nửa mặt phẳng Re ()z > 1 2  (đây là một tập lồi). Ta thấy rõ trong Hình 2. 2.1.2. Cận trên đối với môđun của hệ số trong khai triển hàm lồi và hàm hình sao Phỏng đoán Bieberbach trong S cũng đúng trong S*, được chứng minh lần đầu tiên năm 1920 bởi R.Nevanlinna. Định lí 13: Nếu f  S* và có khai triển f(z) = z + 2 2 az + …+ n n az +…, z  D thì n a ≤ n, n = 2, 3,….Đẳng thức xảy ra khi f là một phép quay của hàm Koebe. Chứng minh: Trước khi chứng minh định lí này ta sẽ chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 4 (bổ đề Caratheodory): Giả sử ψ(z) giải tích trên D, có Reψ(z) > 0 trên D và ψ(z) = 1 + 1 n n n bz    thì n b ≤ 2, n = 1, 2,… (2.9) Chứng minh Gọi C = {z: i zre   , 0 < r < 1, 0 ≤  ≤ 2 }. Theo công thức tích phân Cauchy ta có n b = 1 1() 2 n C z dz iz     = 2 0 1 () 2 iin n re e d r        Suy ra n b n r = 2 0 1 () 2 iin re e d        (2.10) Mặt khác ta có 0 = 2 0 1 () 2 iin re e d        (2.11) Cộng theo vế (2.10) và (2.11) ta được n b n r = 2 0 1 2Re ( ) 2 iin re e d        = 2 0 1 Re ( ) iin re e d        Suy ra n n br ≤ 2 0 1 Re ( ) i re d       = 2 Cho r  1 ta được n b ≤ 2, n = 1, 2,… (đpcm) Ta thấy hàm ψ(z) = 1 1 z z   = 1 + 2 1 n n z    thoả mãn điều kiện của Bổ đề 4. Do đó, đánh giá trong (2.9) hoàn toàn chặt chẽ. Bây giờ ta chứng minh định lí 13.
Cho f S* và gi
ψ(z)
=
'( )
()
zf z
f
z
= 1 +
1
n
n
n
bz
, z D (2.12)
thì Re
ψ(z) > 0 (theo Tính cht 1) và vì thế
n
b
2, n = 1, 2,…(theo B đề 4).
T (2.12) suy ra zf’(z) = f(z)[1 +
1
n
n
n
bz
]. Suy ra
23
23
2 3 ... ...
n
n
zaz az naz=
23
21 3 212 11 1
( ) ( ) ... ( ... ) ...
n
nn n
abz aabbz aab bz


Suy ra
2
a =
1
b
2
3
a =
21
ab +
2
b
(n-1)
n
a =
11 2 2 1
...
nn n
ab a b b


Ta s chng minh
n
a
n, n = 2, 3,…bng quy np.
Ta có
2
a =
1
b 2. Gi s
k
a k, k = 2, 3,…, n-1.
Khi đó (n-1)
n
a =
11 2 2 1
...
nn n
ab ab b

 2[(n-1) + (n-2) + …+ 1] = n(n-1)
Suy ra
n
a n
Vy
n
a
n, n = 2, 3,…(đpcm).
D thy rng, nếu
n
a = n, n = 2, 3,…thì
2
a = 2. Khi đó f là mt phép quay ca hàm Koebe
(theo Định lí 3).
Định lí 14: Nếu f K và có khai trin f(z) = z +
2
2
az + …+
n
n
az +…, z D thì
n
a 1, n = 2,
3,….Đẳng thc xy ra khi f là hàm
()z =
1
z
z
hay là mt phép quay thích hp ca nó.
Chng minh
T f(z) = z +
2
2
az + …+
n
n
az +…
suy ra zf’(z) = z + 2
2
2
az
+ …+ n
n
n
az
+…
Vì f
K nên zf’ S* (theo Tính cht 3) và theo Định lí 13 ta thu được
n
n
a
n. Suy ra
n
a
1, n = 2, 3,…(đpcm).
Nhn thy rng hàm
()z =
1
z
z
=
1
n
n
z
là ánh x t D lên na mt phng Re(w) >
1
2
(xem Hình 2) và tho mãn
'( )zz =
2
(1 )
z
z
.
Chú ý: Đối vi các hàm li yếu cũng có đánh giá cn trên đối vi môđun các h s ging
như hàm hình sao.
Cho f  S* và gọi ψ(z) = '( ) () zf z f z = 1 + 1 n n n bz    , z  D (2.12) thì Re ψ(z) > 0 (theo Tính chất 1) và vì thế n b ≤ 2, n = 1, 2,…(theo Bổ đề 4). Từ (2.12) suy ra zf’(z) = f(z)[1 + 1 n n n bz    ]. Suy ra 23 23 2 3 ... ... n n zaz az naz= 23 21 3 212 11 1 ( ) ( ) ... ( ... ) ... n nn n abz aabbz aab bz     Suy ra 2 a = 1 b 2 3 a = 21 ab + 2 b … (n-1) n a = 11 2 2 1 ... nn n ab a b b    Ta sẽ chứng minh n a ≤ n, n = 2, 3,…bằng quy nạp. Ta có 2 a = 1 b ≤ 2. Giả sử k a ≤ k, k = 2, 3,…, n-1. Khi đó (n-1) n a = 11 2 2 1 ... nn n ab ab b    ≤ 2[(n-1) + (n-2) + …+ 1] = n(n-1) Suy ra n a ≤ n Vậy n a ≤ n, n = 2, 3,…(đpcm). Dễ thấy rằng, nếu n a = n, n = 2, 3,…thì 2 a = 2. Khi đó f là một phép quay của hàm Koebe (theo Định lí 3). Định lí 14: Nếu f  K và có khai triển f(z) = z + 2 2 az + …+ n n az +…, z  D thì n a ≤ 1, n = 2, 3,….Đẳng thức xảy ra khi f là hàm ()z = 1 z z  hay là một phép quay thích hợp của nó. Chứng minh Từ f(z) = z + 2 2 az + …+ n n az +… suy ra zf’(z) = z + 2 2 2 az + …+ n n n az +… Vì f  K nên zf’  S* (theo Tính chất 3) và theo Định lí 13 ta thu được n n a ≤ n. Suy ra n a ≤ 1, n = 2, 3,…(đpcm). Nhận thấy rằng hàm ()z = 1 z z = 1 n n z    là ánh xạ từ D lên nửa mặt phẳng Re(w) > 1 2  (xem Hình 2) và thoả mãn '( )zz = 2 (1 ) z z . Chú ý: Đối với các hàm lồi yếu cũng có đánh giá cận trên đối với môđun các hệ số giống như hàm hình sao.
Định lí 15: Nếu f là hàm li yếu và có khai trin f(z) = z+
2
2
az +…+
n
n
az +…,
z
D thì
n
a n, n = 2, 3,….Đẳng thc xy ra khi f là mt phép quay ca hàm Koebe.
Chng minh
Vì f là hàm li yếu nên tn ti hàm li h sao cho Re
'( )
'( )
f
z
hz
> 0 trên D. Vì thế Re
1
'(0)h
> 0
và nếu gi
=
arg '(0)h
thì chúng ta có th gi s
<
2
.
Đặt g(z) =
() (0)
'(0)
hz h
h
, z D. Khi đó g K.
Xét hàm q(z) =
'( )
'( )
i
f
z
egz
=
0
n
n
n
qz
, thế thì
0
q =
i
e
và Req(z) > 0, z D.
Hơn na, nếu gi p(z) =
() isin
os
qz
c
= 1 +
1
n
n
n
p
z
, z D thì p(z) gii tích trên D,
Rep(z) > 0 và p(0) = 1.
D thy rng
n
q =
n
p
cos, n = 1, 2,…
Gi g(z) = z +
2
2
cz +…+
n
n
cz +…, z D
So sánh các h s ca f’(z) và
i
e
g’(z)q(z) ta được
n
na =
i
e
[
i
n
nc e
+
11
(1)
n
ncq
+
22
(2)
n
ncq
+ …+
22
2
n
cq
+
1n
q
]
Vì p(z) gii tích trên D, có Rep(z) > 0 trên D và p(z) = 1 +
1
n
n
n
p
z
, z D nên
n
p
2, n = 1,
2,…(theo B đề 4). Suy ra
n
q 2cos 2
g
K nên
n
c 1, n = 2, 3,…(theo Định lí 14)
vy ta có n
n
a n + 2(n-1) + 2(n-2) +…+ 2.2 + 2 =
2
n
Do đó,
n
a n, n = 2, 3,….
Đẳng thc xy ra khi f là mt phép quay ca hàm Koebe.
2.2. Cc tr ca các hàm biến min thành hình tròn
2.2.1. B đề 5
Đây là b đề quan trng để gii quyết hai bài toán cc tr trong phn tiếp theo.
Nếu
(z) là hàm s khai trin được trong hình tròn z < thì đặt
z = r
i
e
, vi mi r (0 < r < ) ta có
2
0
1
()
2
p
i
re d
(0)
p
, p > 0 (2.13)
Đẳng thc ch xy ra khi (z) = const.
Định lí 15: Nếu f là hàm lồi yếu và có khai triển f(z) = z+ 2 2 az +…+ n n az +…, z  D thì n a ≤ n, n = 2, 3,….Đẳng thức xảy ra khi f là một phép quay của hàm Koebe. Chứng minh Vì f là hàm lồi yếu nên tồn tại hàm lồi h sao cho Re '( ) '( ) f z hz > 0 trên D. Vì thế Re 1 '(0)h > 0 và nếu gọi  = arg '(0)h thì chúng ta có thể giả sử  < 2  . Đặt g(z) = () (0) '(0) hz h h  , z  D. Khi đó g  K. Xét hàm q(z) = '( ) '( ) i f z egz  = 0 n n n qz    , thế thì 0 q = i e   và Req(z) > 0, z  D. Hơn nữa, nếu gọi p(z) = () isin os qz c    = 1 + 1 n n n p z    , z  D thì p(z) giải tích trên D, Rep(z) > 0 và p(0) = 1. Dễ thấy rằng n q = n p cos, n = 1, 2,… Gọi g(z) = z + 2 2 cz +…+ n n cz +…, z  D So sánh các hệ số của f’(z) và i e  g’(z)q(z) ta được n na = i e  [ i n nc e   + 11 (1) n ncq   + 22 (2) n ncq   + …+ 22 2 n cq  + 1n q  ] Vì p(z) giải tích trên D, có Rep(z) > 0 trên D và p(z) = 1 + 1 n n n p z    , z  D nên n p ≤ 2, n = 1, 2,…(theo Bổ đề 4). Suy ra n q ≤ 2cos ≤ 2 Vì g  K nên n c ≤ 1, n = 2, 3,…(theo Định lí 14) Vì vậy ta có n n a ≤ n + 2(n-1) + 2(n-2) +…+ 2.2 + 2 = 2 n Do đó, n a ≤ n, n = 2, 3,…. Đẳng thức xảy ra khi f là một phép quay của hàm Koebe. 2.2. Cực trị của các hàm biến miền thành hình tròn 2.2.1. Bổ đề 5 Đây là bổ đề quan trọng để giải quyết hai bài toán cực trị trong phần tiếp theo. Nếu (z) là hàm số khai triển được trong hình tròn z <  thì đặt z = r i e  , với mọi r (0 < r < ) ta có 2 0 1 () 2 p i re d       ≥ (0) p  , p > 0 (2.13) Đẳng thức chỉ xảy ra khi (z) = const.
Chng minh
Trước hết ta xét trường hp p = 2.
Theo khai trin Taylor, bên trong hình tròn
z < , ta có
(z) =
0
+
1
z + … +
n
n
z + …T đó suy ra
2
2
0
1
()
2
i
re d
=
2
0
+
2
1
2
r + … +
2
n
2n
r + …Rõ ràng biu thc này ln hơn hoc
bng
2
0
=
2
(0)
. Đẳng thc ch xy ra khi (z) =
0
.
Nếu p là s bt kì thì ta xét hàm s
2
[()]
p
z
. Nếu (z) không có 0-đim bên trong hình
tròn thì arg
là hàm đơn tr, các nhánh khác nhau ca hàm
2
p
cũng đơn tr. Chn mt trong s
chúng, ta s có hàm
2
p
khai trin được trong hình tròn z < . Khi đó áp dng b đề cho hàm
s mi này vi lu tha 2, ta thu được kết qu đối vi hàm
(z). Do đó b đề được chng minh
vi mi p, nếu
không có 0-đim bên trong hình tròn.
Xét trường hp
có 0-đim bên trong hình tròn z < , ta có th gi s (0) 0 (vì
trường hp
(0) = 0 thì b đề hin nhiên đúng). Xét hình tròn bán kính r (r < ). Nếu bên trong
hình tròn này không có 0-đim ca hàm s
(z) thì b đề được chng minh vi bán kính r. Nếu
có 0-đim bên trong hình tròn
z < r thì s lượng các 0-đim là hu hn, ta kí hiu chúng là
1
a ,
2
a , …,
n
a (nếu là 0-đim bi k thì ta viết li k ln). Để ý rng nếu
'
1
a ,
'
2
a , …,
'
n
a là các đim đối xng vi
1
a ,
2
a , …,
n
a qua đường tròn z = r thì hàm s
'' '
12
12
( )( )...( )
( )( )...( )
n
n
zaza za
zaza za


nhn giá tr trên đường tròn này vi môđun bng
1
r
a
.
2
r
a
n
r
a
=
12
...
n
n
r
aa a
.
Suy ra hàm s
1
()z
=
12
...
n
n
aa a
r
'' '
12
12
( )( )...( )
( )( )...( )
n
n
zaza za
zaza za


(z) không bng không trong hình tròn
z
< r , đồng thi có giá tr trên đường tròn
z = r vi môđun như ca (z). Áp dng b đề
cho
1
()z
, ta được
2
1
0
1
()
2
p
i
re d
1
(0)
p
. Mt khác ta có
1
()
i
re
=
()
i
re
1
(0)
=
12
...
n
n
aa a
r
'' '
12
12
...
...
n
n
aa a
aa a
(0)
=
'' '
12
...
n
n
aa a
r
(0)
> (0)
.
Chứng minh Trước hết ta xét trường hợp p = 2. Theo khai triển Taylor, bên trong hình tròn z < , ta có (z) = 0  + 1  z + … + n  n z + …Từ đó suy ra 2 2 0 1 () 2 i re d       = 2 0  + 2 1  2 r + … + 2 n  2n r + …Rõ ràng biểu thức này lớn hơn hoặc bằng 2 0  = 2 (0)  . Đẳng thức chỉ xảy ra khi (z) = 0  . Nếu p là số bất kì thì ta xét hàm số 2 [()] p z  . Nếu (z) không có 0-điểm bên trong hình tròn thì arg  là hàm đơn trị, các nhánh khác nhau của hàm 2 p  cũng đơn trị. Chọn một trong số chúng, ta sẽ có hàm 2 p  khai triển được trong hình tròn z < . Khi đó áp dụng bổ đề cho hàm số mới này với luỹ thừa 2, ta thu được kết quả đối với hàm (z). Do đó bổ đề được chứng minh với mọi p, nếu  không có 0-điểm bên trong hình tròn. Xét trường hợp  có 0-điểm bên trong hình tròn z < , ta có thể giả sử (0) ≠ 0 (vì trường hợp (0) = 0 thì bổ đề hiển nhiên đúng). Xét hình tròn bán kính r (r <  ). Nếu bên trong hình tròn này không có 0-điểm của hàm số (z) thì bổ đề được chứng minh với bán kính r. Nếu có 0-điểm bên trong hình tròn z < r thì số lượng các 0-điểm là hữu hạn, ta kí hiệu chúng là 1 a , 2 a , …, n a (nếu là 0-điểm bội k thì ta viết lại k lần). Để ý rằng nếu ' 1 a , ' 2 a , …, ' n a là các điểm đối xứng với 1 a , 2 a , …, n a qua đường tròn z = r thì hàm số '' ' 12 12 ( )( )...( ) ( )( )...( ) n n zaza za zaza za     nhận giá trị trên đường tròn này với môđun bằng 1 r a . 2 r a … n r a = 12 ... n n r aa a . Suy ra hàm số 1 ()z  = 12 ... n n aa a r '' ' 12 12 ( )( )...( ) ( )( )...( ) n n zaza za zaza za     (z) không bằng không trong hình tròn z < r , đồng thời có giá trị trên đường tròn z = r với môđun như của (z). Áp dụng bổ đề cho 1 ()z  , ta được 2 1 0 1 () 2 p i re d       ≥ 1 (0) p  . Mặt khác ta có 1 () i re   = () i re   và 1 (0)  = 12 ... n n aa a r '' ' 12 12 ... ... n n aa a aa a (0)  = '' ' 12 ... n n aa a r (0)  > (0)  .
Do đó
2
0
1
()
2
p
i
re d
> (0)
p
.
B đề được chng minh xong vì hàm
(z) ((0) 0 ) có 0-đim bên trong hình tròn z
< r nên không phi là hàm hng.
2.2.2. Bài toán cc tr th nht
Xét tt c hàm s (z) khai trin được trong min đơn liên hu hn A và chun hoá được
ti đim
0
z , nghĩa là tho mãn các điu kin:
(
0
z ) = 0, '
(
0
z ) = 1 (2.14)
Đối vi lp hàm này người ta đưa ra bài toán: Chng t rng tích phân
p
I
=
( ) dxd
p
A
zy

, p > 0 có cc tiu đối vi mt hàm duy nht và xác định hàm s đó.
Chng minh
Gi s w = f(z) tho mãn (2.14) và ánh x bo giác 1-1 min A lên hình tròn D
: z <
và z =
(w) là hàm ngược.
(, )
(,)
Dxy
Duv
=
2
w
dz
d
=
2
'( )w
nên
p
I
=
2
[ (w)] '(w) dud
p
D
v


Đặt
(w) = [
(w)] và w = r
i
e
, ta được
p
I
=
0
rdr
2
2
0
() '()
p
ii
re re d

trong đó '
không bng 0. Do đó các nhánh khác nhau
2
(')
p
đơn tr. Chn nhánh bng 1 khi w = 0,
[
(w)] là hàm khai trin được và có 0-đim đơn khi
w = 0. Suy ra
(w)
2
(')
p
là hàm khai trin được và có 0-đim đơn khi w = 0. Đặt (w)
=
2
(w)[ '(w)]
w
p
, (0) 0 . Khi đó ta có
2
2
0
() '()
p
ii
re re d

=
2
0
()
p
pi
rred
.
Theo B đề 5, vi mi r < ρ, ta được
2
2
0
() '()
p
ii
re re d

2π
p
r (0)
p
(2.15)
Mun tính
(0) ta để ý rng
0
(w)
[]
w
w
d
d
=
0
()
zz
d
dz
= 1, ψ’(0) =
0
1
'( )
f
z
= 1
Suy ra Λ(w) = w +…,
2
['(w)]
p
= 1 +…Điu đó có nghĩa Φ(w) = 1 +…, tc là Φ(0) = 1. T
(2.15) ta tính được
2
2
0
() '()
p
ii
re re d

2π
p
r .
Do đó 2 0 1 () 2 p i re d       > (0) p  . Bổ đề được chứng minh xong vì hàm (z) ((0) ≠ 0 ) có 0-điểm bên trong hình tròn z < r nên không phải là hàm hằng. 2.2.2. Bài toán cực trị thứ nhất Xét tất cả hàm số (z) khai triển được trong miền đơn liên hữu hạn A và chuẩn hoá được tại điểm 0 z , nghĩa là thoả mãn các điều kiện: ( 0 z ) = 0, '  ( 0 z ) = 1 (2.14) Đối với lớp hàm này người ta đưa ra bài toán: Chứng tỏ rằng tích phân p I = ( ) dxd p A zy   , p > 0 có cực tiểu đối với một hàm duy nhất  và xác định hàm số đó. Chứng minh Giả sử w = f(z) thoả mãn (2.14) và ánh xạ bảo giác 1-1 miền A lên hình tròn D  : z <  và z =  (w) là hàm ngược. Vì (, ) (,) Dxy Duv = 2 w dz d = 2 '( )w  nên p I = 2 [ (w)] '(w) dud p D v     Đặt  (w) = [  (w)] và w = r i e  , ta được p I = 0 rdr   2 2 0 () '() p ii re re d       trong đó '  không bằng 0. Do đó các nhánh khác nhau 2 (') p  là đơn trị. Chọn nhánh bằng 1 khi w = 0, [  (w)] là hàm khai triển được và có 0-điểm đơn khi w = 0. Suy ra  (w) 2 (') p  là hàm khai triển được và có 0-điểm đơn khi w = 0. Đặt  (w) = 2 (w)[ '(w)] w p   , (0) ≠ 0 . Khi đó ta có 2 2 0 () '() p ii re re d       = 2 0 () p pi rred      . Theo Bổ đề 5, với mọi r < ρ, ta được 2 2 0 () '() p ii re re d       ≥ 2π p r (0) p  (2.15) Muốn tính  (0) ta để ý rằng 0 (w) [] w w d d   = 0 () zz d dz   = 1, ψ’(0) = 0 1 '( ) f z = 1 Suy ra Λ(w) = w +…, 2 ['(w)] p  = 1 +…Điều đó có nghĩa Φ(w) = 1 +…, tức là Φ(0) = 1. Từ (2.15) ta tính được 2 2 0 () '() p ii re re d       ≥ 2π p r .
Do đó
p
I
2π
1
0
p
rdr
=
2
2
2
p
p
. Vy
p
I
2
2
2
p
p
. Trong biu thc này du bng ch
xy ra khi trong (2.15) ta có du bng vi mi r, theo B đề 5 thì điu đó ch có th xy ra khi
Φ(w) = const = 1. Điu này có nghĩa
p
I
đạt cn dưới. Điu kin Φ(w) = 1 được viết dng
λ[ψ(w)] = w
2
['(w)]
p
hay λ(z) = f(z)
2
['()]
p
f
z . Ta xem
2
['()]
p
f
z là nhánh đơn tr ca hàm s bng 1
khi z =
0
z . Như vy ta đã chng minh được rng
p
I
đạt cn dưới
2
2
2
p
p
ch đối vi hàm s
()
p
f
z = f(z)
2
['()]
p
f
z .
Ngoài ra ta còn thy rng giá tr trung bình [λ(z)] hng p trên min A là
p
m =
1
()
p
p
I
d
, d là
din tích ca min A. T đó ta có
p
m
ρ
1
2
2
[]
(2)
p
p
d

, trong đó
p
m
= ρ
1
2
2
[]
(2)
p
p
d

ch đối vi
hàm s
()
p
f
z
. Khi p tiến đến vô cùng thì
p
m
tiến đến ρ, còn
()
p
f
z
tiến đến hàm f(z).
2.2.3. Bài toán cc tr th hai
Xét tt c hàm s (z) khai trin được trong min đơn liên hu hn A và chun hoá được
ti đim
0
z , nghĩa là tho mãn các điu kin:
(
0
z ) = 0, '
(
0
z ) = 1 (2.14)
Ta s chng minh tích phân
p
J = '( ) dxd
p
A
zy

, p > 0 có cc tiu đối vi mt hàm duy
nht
và xác định hàm s đó.
Ta cũng s gi s w = f(z) tho mãn (2.14) và ánh x bo giác 1-1 min A lên hình tròn
D
: z < và z =
(w) là hàm ngược.
Tương t mc 2.2.2 ta được
p
J =
2
'[ (w)] '(w) dud
p
D
v


, chuyn qua to độ cc w =
r
i
e
đặt λ’[ψ(w)] =
1
(w) = 1 +…, ta được
p
J =
0
rdr
2
2
1
0
() '()
p
ii
re re d

.
Đặt
1
(w) =
2
1
(w)[ '(w)]
p
,
1
(0) = 1.
Do đó p I ≥ 2π 1 0 p rdr    = 2 2 2 p p     . Vậy p I ≥ 2 2 2 p p     . Trong biểu thức này dấu bằng chỉ xảy ra khi trong (2.15) ta có dấu bằng với mọi r, theo Bổ đề 5 thì điều đó chỉ có thể xảy ra khi Φ(w) = const = 1. Điều này có nghĩa p I đạt cận dưới. Điều kiện Φ(w) = 1 được viết ở dạng λ[ψ(w)] = w 2 ['(w)] p   hay λ(z) = f(z) 2 ['()] p f z . Ta xem 2 ['()] p f z là nhánh đơn trị của hàm số bằng 1 khi z = 0 z . Như vậy ta đã chứng minh được rằng p I đạt cận dưới 2 2 2 p p     chỉ đối với hàm số () p f z = f(z) 2 ['()] p f z . Ngoài ra ta còn thấy rằng giá trị trung bình [λ(z)] hạng p trên miền A là p m = 1 () p p I d , d là diện tích của miền A. Từ đó ta có p m ≥ ρ 1 2 2 [] (2) p p d   , trong đó p m = ρ 1 2 2 [] (2) p p d   chỉ đối với hàm số () p f z . Khi p tiến đến vô cùng thì p m tiến đến ρ, còn () p f z tiến đến hàm f(z). 2.2.3. Bài toán cực trị thứ hai Xét tất cả hàm số (z) khai triển được trong miền đơn liên hữu hạn A và chuẩn hoá được tại điểm 0 z , nghĩa là thoả mãn các điều kiện: ( 0 z ) = 0, '  ( 0 z ) = 1 (2.14) Ta sẽ chứng minh tích phân p J = '( ) dxd p A zy   , p > 0 có cực tiểu đối với một hàm duy nhất  và xác định hàm số đó. Ta cũng sẽ giả sử w = f(z) thoả mãn (2.14) và ánh xạ bảo giác 1-1 miền A lên hình tròn D  : z <  và z =  (w) là hàm ngược. Tương tự mục 2.2.2 ta được p J = 2 '[ (w)] '(w) dud p D v     , chuyển qua toạ độ cực w = r i e  và đặt λ’[ψ(w)] = 1  (w) = 1 +…, ta được p J = 0 rdr   2 2 1 0 () '() p ii re re d       . Đặt 1  (w) = 2 1 (w)[ '(w)] p   , 1  (0) = 1.
Ta có
2
2
1
0
() '()
p
ii
re re d

=
2
1
0
()
p
i
re d
. Theo B đề 5 ta suy ra
2
2
1
0
() '()
p
ii
re re d

2π
1
(0)
p
= 2π. Do đó
p
J 2π
0
rdr
= π
2
.
Đẳng thc ch xy ra khi
1
(w) = const = 1, nghĩa là
2
1
(w)[ '(w)]
p
= 1 hay
λ’(z) =
2
[f'(z)]
p
, (
2
0
[f'(z )]
p
= 1). T đó ta có λ(z) =
0
2
[f'(z)]
z
p
z
dz
. Đây là hàm duy nht mà đối vi
hàm này
p
J
đạt cn dưới π
2
.
Giá tr trung bình hng p ca
'
'
p
m =
1
()
p
p
J
d
1
2
()
p
d

, trong đó
'
p
m =
1
2
()
p
d

ch đối vi hàm s λ’(z) =
2
[f'(z)]
p
. Khi p tiến v vô cùng thì
'
p
m tiến v 1 và hàm s
tiến v
0
zz .
Nếu p = 2 thì
p
J có ý nghĩa hình hc như sau:
2
J là din tích mt cong Riemann thu
được trong ánh x min A. Để ý rng vi p = 2, hàm s cc tiu hoá là λ(z) =
0
f'(z)
z
z
dz
= f(z).
Như vy, trong s các hàm khai trin được trong min hu hn A và chun hoá được ti
0
z s tn ti hàm s duy nht cc tiu ca din tích mt cong Riemann được to thành t A,
hàm s này ánh x 1-1 bo giác min A lên hình tròn có tâm ti gc to độ.
Để tìm cc tiu ca din tích vi điu kin cho din tích được to thành và tìm cc tiu
0
'( )z
. Ta xét tt c các hàm s μ(z) khai trin được trong min A và tho mãn điu kin μ(
0
z )
= 0, μ’(
0
z ) 0 và biến min A thành mt cong Riemann có din tích cho trước. Khi đó hàm
s
0
()
'( )
z
z
biến min A thành mt cong Riemann có din tích bng
2
0
'( )z
, vì hàm này chun
hoá được ti đim
0
z nên ta có
2
0
'( )z
π
2
, trong đó ρ là bán kính tương ng vi đim
0
z
và min A. Suy ra
2
0
'( )z
2
. Khi đó
0
'( )z
2
. Cc tiu
0
'( )z
đạt được ch khi
0
()
'( )
z
z
cho ta ánh x 1-1 và bo giác min A lên hình tròn có tâm ti gc ta độ.
Ta có 2 2 1 0 () '() p ii re re d       = 2 1 0 () p i re d      . Theo Bổ đề 5 ta suy ra 2 2 1 0 () '() p ii re re d       ≥ 2π 1 (0) p  = 2π. Do đó p J ≥ 2π 0 rdr   = π 2  . Đẳng thức chỉ xảy ra khi 1  (w) = const = 1, nghĩa là 2 1 (w)[ '(w)] p   = 1 hay λ’(z) = 2 [f'(z)] p , ( 2 0 [f'(z )] p = 1). Từ đó ta có λ(z) = 0 2 [f'(z)] z p z dz  . Đây là hàm duy nhất mà đối với hàm này p J đạt cận dưới π 2  . Giá trị trung bình hạng p của '  là ' p m = 1 () p p J d ≥ 1 2 () p d  , trong đó ' p m = 1 2 () p d  chỉ đối với hàm số λ’(z) = 2 [f'(z)] p . Khi p tiến về vô cùng thì ' p m tiến về 1 và hàm số tiến về 0 zz . Nếu p = 2 thì p J có ý nghĩa hình học như sau: 2 J là diện tích mặt cong Riemann thu được trong ánh xạ miền A. Để ý rằng với p = 2, hàm số cực tiểu hoá là λ(z) = 0 f'(z) z z dz  = f(z). Như vậy, trong số các hàm khai triển được trong miền hữu hạn A và chuẩn hoá được tại 0 z sẽ tồn tại hàm số duy nhất cực tiểu của diện tích mặt cong Riemann được tạo thành từ A, hàm số này ánh xạ 1-1 bảo giác miền A lên hình tròn có tâm tại gốc toạ độ. Để tìm cực tiểu của diện tích với điều kiện cho diện tích được tạo thành và tìm cực tiểu 0 '( )z  . Ta xét tất cả các hàm số μ(z) khai triển được trong miền A và thoả mãn điều kiện μ( 0 z ) = 0, μ’( 0 z ) ≠ 0 và biến miền A thành mặt cong Riemann có diện tích ∆ cho trước. Khi đó hàm số 0 () '( ) z z   biến miền A thành mặt cong Riemann có diện tích bằng 2 0 '( )z   , vì hàm này chuẩn hoá được tại điểm 0 z nên ta có 2 0 '( )z   ≥ π 2  , trong đó ρ là bán kính tương ứng với điểm 0 z và miền A. Suy ra 2 0 '( )z  ≤ 2    . Khi đó 0 '( )z  ≤ 2    . Cực tiểu 0 '( )z  đạt được chỉ khi 0 () '( ) z z   cho ta ánh xạ 1-1 và bảo giác miền A lên hình tròn có tâm tại gốc tọa độ.
Nếu f(z) là hàm s chun hoá được ti đim
0
z và cũng vi ánh x đó thì điu kin cn và
đủ để hàm s μ(z) cho ta cc đại
0
'( )z
0
()
'( )
z
z
= f(z). Suy ra μ(z) = cf(z). Theo gi thiết,
din tích được to thành bng nên
2
c
π
2
= . Suy ra c =
2
. Vy hàm s cn tìm μ(z)
có dng
i
e
2
f(z). Hàm s dng này ánh x 1-1 và bo giác min A lên hình tròn có tâm ti
gc ta độ và din tích bng . T đó suy ra: trong s các hàm s μ(z) khai trin được trong
min A, μ(
0
z ) = 0, μ’(
0
z ) 0 và biến min A thành mt cong Riemann có din tích thì
nhng hàm s cho ta cc đại
0
'( )z
s ánh x 1-1 và bo giác min A lên hình tròn có tâm ti
gc ta độ và có din tích bng .
Nếu f(z) là hàm số chuẩn hoá được tại điểm 0 z và cũng với ánh xạ đó thì điều kiện cần và đủ để hàm số μ(z) cho ta cực đại 0 '( )z  là 0 () '( ) z z   = f(z). Suy ra μ(z) = cf(z). Theo giả thiết, diện tích được tạo thành bằng ∆ nên 2 c π 2  = ∆. Suy ra c = 2    . Vậy hàm số cần tìm μ(z) có dạng i e  2    f(z). Hàm số dạng này ánh xạ 1-1 và bảo giác miền A lên hình tròn có tâm tại gốc tọa độ và diện tích bằng ∆. Từ đó suy ra: trong số các hàm số μ(z) khai triển được trong miền A, μ( 0 z ) = 0, μ’( 0 z ) ≠ 0 và biến miền A thành mặt cong Riemann có diện tích ∆ thì những hàm số cho ta cực đại 0 '( )z  sẽ ánh xạ 1-1 và bảo giác miền A lên hình tròn có tâm tại gốc tọa độ và có diện tích bằng ∆.
KT LUN
Trong chương 1, em đã trình bày rõ khái nim hàm đơn dip (có ví d minh ho c th);
các kết qu cơ bn nht ca hàm đơn dip; hai định lí din tích ca min nh ca hàm đơn dip;
hng s Koebe và định lí biến dng; trình bày cn trên, cn dưới đối vi môđun ca hàm đơn
dip; định lí quay; cn đối vi môđun các h s và các h s thc trong khai trin hàm
đơn dip.
Có hình v minh ho hay các ví d c th để các kết qu trong lun văn được cht ch, d hiu.
Trong chương 2, em đã trình bày rõ khái nim hàm li và hàm hình sao; các tính cht
quan trng ca chúng; đánh giá cn trên đối vi môđun ca h s trong khai trin hàm li và
hàm hình sao; xem xét hai bài toán cc tr và b đề quan trng để gii quyết hai bài toán đó.
Tuy nhiên, vì đây là lĩnh vc khá rng, đã được nhiu nhà toán hc quan tâm
nghiên cu,
nên vic tng hp các kết qu đã có cũng như phát hin thêm nhng kết qu mi khác là không
d dàng. Do đó trong khuôn kh ca lun văn, em ch trình bày nhng kết qu cơ bn nht v
hàm đơn dip, chưa đào sâu nghiên cu quan h ca hàm đơn dip vi các lĩnh vc toán hc
khác. Nhn thy rng, hàm đa dip cũng là
mt trong nhng lĩnh vc cn quan tâm nghiên cu.
Đây là lĩnh vc tng quát ca hàm đơn dip. Vì thế, nếu điu kin cho phép, em s thc hin đề
tài này trong các công trình nghiên cu sau.
KẾT LUẬN Trong chương 1, em đã trình bày rõ khái niệm hàm đơn diệp (có ví dụ minh hoạ cụ thể); các kết quả cơ bản nhất của hàm đơn diệp; hai định lí diện tích của miền ảnh của hàm đơn diệp; hằng số Koebe và định lí biến dạng; trình bày cận trên, cận dưới đối với môđun của hàm đơn diệp; định lí quay; cận đối với môđun các hệ số và các hệ số thực trong khai triển hàm đơn diệp. Có hình vẽ minh hoạ hay các ví dụ cụ thể để các kết quả trong luận văn được chặt chẽ, dễ hiểu. Trong chương 2, em đã trình bày rõ khái niệm hàm lồi và hàm hình sao; các tính chất quan trọng của chúng; đánh giá cận trên đối với môđun của hệ số trong khai triển hàm lồi và hàm hình sao; xem xét hai bài toán cực trị và bổ đề quan trọng để giải quyết hai bài toán đó. Tuy nhiên, vì đây là lĩnh vực khá rộng, đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nên việc tổng hợp các kết quả đã có cũng như phát hiện thêm những kết quả mới khác là không dễ dàng. Do đó trong khuôn khổ của luận văn, em chỉ trình bày những kết quả cơ bản nhất về hàm đơn diệp, chưa đào sâu nghiên cứu quan hệ của hàm đơn diệp với các lĩnh vực toán học khác. Nhận thấy rằng, hàm đa diệp cũng là một trong những lĩnh vực cần quan tâm nghiên cứu. Đây là lĩnh vực tổng quát của hàm đơn diệp. Vì thế, nếu điều kiện cho phép, em sẽ thực hiện đề tài này trong các công trình nghiên cứu sau.
TÀI LIU THAM KHO
1. Chun Wen G. (1992),
Conformal mappings and boundary value problems,
American Mathematical Society, USA.
2. Conway J.B. (1978),
Functions of one complex variable II, Springer-Verlag
NewYork Inc, USA.
3. Duren P.L.(1983),
Univalent Functions, Springer-Verlag NewYork Inc, USA.
4. Goluzin G.M. (1969),
Geometric theory of functions of a complex variable, American
Mathematical Society, USA.
5. Graham I.R., Kohr G. (2003),
Geometric function theory in one and higher dimensions,
Marcel Dekker Inc, NewYork.
6. Gonzalez M.O. (1992),
Complex analysis: Selected topics, Marcel Dekker Inc, NewYork.
7. Henrici P. (1993),
Applied and computational complex analysis, Diserete Fourier Analysis,
Wiley Classical Library, NewYork.
8. Markushevich A.I., Silverman R.A. (1965),
Theory of functions of a complex variable I,
Prentice-Hall Inc, London.
9. Privalov I.I. (1997), Nhp môn lý thuyết hàm phc, NXB Khoa hc, Mascova.
10. Romannovski P.I. (1980),
Chui Fourier, lý thuyết trường, hàm gii tích, phép biến đổi
Laplace,
NXB Khoa hc, Mascova.
11. Sabat B.V. (1969),
Nhp môn gii tích phc, NXB Đại hc và trung hc chuyên nghip, Hà
ni.
12. Tamura I. (1992),
Topology of foliations: an introduction, American Mathematical Society,
USA.
13. Trn Anh Bo (1978),
Lý thuyết hàm s biến s phc, NXB GD, Hà ni.
14. Đậu Thế Cp (1999),
Hàm mt biến phc, NXB GD, Hà ni.
15. Nguyn Văn Khuê, Vũ Tun (1990),
Hàm s biến s phc, NXB GD, Hà Ni.
16. Võ Đăng Tho (1994),
Hàm phc và toán t Laplace, ĐH Bách khoa Tp.HCM.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chun Wen G. (1992), Conformal mappings and boundary value problems, American Mathematical Society, USA. 2. Conway J.B. (1978), Functions of one complex variable II, Springer-Verlag NewYork Inc, USA. 3. Duren P.L.(1983), Univalent Functions, Springer-Verlag NewYork Inc, USA. 4. Goluzin G.M. (1969), Geometric theory of functions of a complex variable, American Mathematical Society, USA. 5. Graham I.R., Kohr G. (2003), Geometric function theory in one and higher dimensions, Marcel Dekker Inc, NewYork. 6. Gonzalez M.O. (1992), Complex analysis: Selected topics, Marcel Dekker Inc, NewYork. 7. Henrici P. (1993), Applied and computational complex analysis, Diserete Fourier Analysis, Wiley Classical Library, NewYork. 8. Markushevich A.I., Silverman R.A. (1965), Theory of functions of a complex variable I, Prentice-Hall Inc, London. 9. Privalov I.I. (1997), Nhập môn lý thuyết hàm phức, NXB Khoa học, Mascova. 10. Romannovski P.I. (1980), Chuỗi Fourier, lý thuyết trường, hàm giải tích, phép biến đổi Laplace, NXB Khoa học, Mascova. 11. Sabat B.V. (1969), Nhập môn giải tích phức, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà nội. 12. Tamura I. (1992), Topology of foliations: an introduction, American Mathematical Society, USA. 13. Trần Anh Bảo (1978), Lý thuyết hàm số biến số phức, NXB GD, Hà nội. 14. Đậu Thế Cấp (1999), Hàm một biến phức, NXB GD, Hà nội. 15. Nguyễn Văn Khuê, Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, NXB GD, Hà Nội. 16. Võ Đăng Thảo (1994), Hàm phức và toán tử Laplace, ĐH Bách khoa Tp.HCM.