Luận án Tiến sĩ ngành Vật lý: Một số ảnh hưởng của chùm laser xung Gauss lên quá trình phân bố của môi trường bị kích thích
1,394
967
116
57
ra điều kiện phù hợp nhằm tối ưu hoá sự lựa chọn các tham số.
Như đã trình bày ở trên, đối với trường hợp bơm bốn bên thì tâm hoạt
bị kích thích ở vùng chồng lấn trong không gian của cường độ bơm có phân
bố tựa Gauss với độ rộng nào đó (hình 2.11). Điều đó nghĩa là mật độ tâm
hoạt bị kích thích trên mặt cắt ngang của thanh laser cũng có dạng tựa Gauss
theo bán kính.
Hình 2.11. Phân bố cường độ trong thanh laser rắn bơm ngang bốn bên bằng laser
bán dẫn [65], [67], ρ
1/e
là độ rộng tại I
max
= 4I
0
/e.
Với giả thiết này, trung bình phân bố mật độ tâm hoạt bị kích thích có thể
được viết [65]:
22
0
2
2
( , )
( , ) exp
fourside
fourside EAC
EAC
xz
I x z
Q x z BN Q
hW
(2.24)
ở đây: B là hệ số hấp thụ Anhxtanh, N là mật độ tâm hoạt trong thanh laser,
Q
EAC0
là mật độ tâm hoạt bị kích thích cực đại trên trục, W
EAC
là độ rộng khối
tâm hoạt bị kích thích,
h
là năng lượng trung bình của một photon bơm và
I
fourside
(x,z) là cường độ I của trường kích thích, theo công trình [65]:
22
22
22
2
00
22
22
22
1 2 1 2
exp exp
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( , )
1 2 1 2
exp exp
( ) ( ) ( ) ( )
in in in in
fourside fourside in
in in in in
xx
W z W z W z W z
I I x z I W
zz
W x W x W x W x
(2.25)
trong đó các tham số của chùm bơm trong thanh hoạt chất:
+
00
MWW
in
là mặt thắt chùm tia bên trong thanh laser, (2.26)
1
Cường độ chuẩn hoá (I/I
o
)
z/W
0
58
+
bMb
in
2
là tham số đồng tiêu bên trong thanh laser, (2.26)
2
+
2/1
2
0
1)(
in
inin
b
x
WxW
là độ rộng chùm tia tại vị trí x trong thanh laser (2.26)
3
+
0
0 0 0 0
;;
/( 1) ( 1)
1
t
t
Mr
b
M t M
z r n z n r
t
, (2.26)
4
với: r
0
là bán kính thanh laser, z
0
là khoảng cách từ laser bơm đến trục thanh
laser, W
0
là bán kính mặt thắt chùm bơm, b là tham số đồng tiêu của chùm
bơm và n là chiết suất của hoạt chất laser.
Trong hình 2.3, giả sử bốn dãy laser bán dẫn bơm được đặt đối xứng
xung quanh trục của thanh laser, khi đó phương trình (2.25) có thể viết:
)(4
)(
2
exp
)(
4)(
0
2
2
2
0
0
GI
W
W
W
II
in
in
in
fourside
(2.27)
ở đây
22
xz
là bán kính véc tơ tính từ trục thanh hoạt chất.
Từ phương trình (2.24), (2.26) và (2.27), độ rộng của khối tâm hoạt bị
kích thích được viết:
)(ln
4
ln
2
)(
ln
2
0
0
2
0
2
G
Qh
IBN
Qh
BNI
W
EAC
EAC
fourside
EAC
(2.28)
Vì mật độ tâm hoạt bị kích thích cực đại phụ thuộc vào cường độ cực đại
I
0
nên có thể chọn sao cho thành phần thứ nhất trong mẫu số của dấu căn bằng
0, và khi đó (2.28) trở thành:
)(ln
2
2
G
W
EAC
(2.29)
Một cách gần đúng, chúng ta xem tổng cường độ bơm đóng góp vào quá
trình kích thích tâm hoạt lớn hơn
0
4/Ie
. Như vậy, độ rộng của phân bố cường
độ bơm có thể được chọn như là nghiệm của phương trình:
0/1
)(
2
exp
)(
2
2
2
0
e
W
W
W
in
in
in
(2.30)
1
gọi nghiệm của phương trình (2.30)
1
là RE :
59
)(
/1 e
RE
(2.30)
2
Nghiệm của phương trình (2.30)
1
đồng thời là độ rộng của khối tâm hoạt
bị kích thích, nghĩa là:
)(
/1 eEAC
REW
(2.31)
Từ phương trình (2.25), (2.30) và (2.31) chúng ta thấy độ rộng khối tâm
hoạt bị kích thích phụ thuộc vào r
o
, z
o
, n và bước sóng của chùm laser bơm
p
(trong thành phần của tham số đồng tiêu b).
Chúng ta giả sử khối tâm hoạt kích thích được đặt trong buồng cộng
hưởng đồng tiêu có chiều dài L và bán kính gương R. Buồng cộng hưởng có
mode TEM
00
với bán kính mặt thắt W
MODE
được định nghĩa [21]:
()
2
L
MODE
W L R L
(2.32)
ở đây
L
là bước sóng của laser.
Từ (2.31) và (2.32), như đã đề cập ở (2.23), phương trình điều kiện phù
hợp được viết dưới dạng:
MODEEAC
WW
hay
1/
( ) ( )
2
L
e EAC
RE W L R L
(2.33)
Phương trình điều kiện phù hợp (2.33) chứa biến W
EAC
gọi là biến đơn.
Chú ý thành phần bên trái - chứa tham số bơm W
EAC
phụ thuộc vào các tham
số của dãy laser bán dẫn bơm và thanh laser; còn thành phần bên phải có tham
số W
MODE
phụ thuộc vào các tham số của buồng cộng hưởng.
Như vậy, nếu W
EAC
= W
MODE
= W thì điều kiện phù hợp được thoả mãn.
Phương trình (2.33) có thể giải bằng phương pháp đồ thị cho thành phần bên
trái và thành phần bên phải để từ đó tìm được giao điểm là nghiệm của
phương trình. Mỗi giao điểm W tương ứng với việc lựa chọn một bộ giá trị
các tham số bơm và tham số buồng cộng hưởng.
2.3.2. Lựa chọn các tham số tối ưu
Chúng ta xem laser rắn được bơm bằng bốn laser bán dẫn đặt đối xứng
xung quanh hoạt chất, laser bán dẫn có bước sóng
0.83
p
m
, bước sóng của
60
laser phát
1.064
gen
m
[92]. Phân bố không gian của laser bán dẫn giả sử có
dạng Gauss với bán kính mặt thắt
2
0
5.10W mm
và
2
0
10.10W mm
. Chiết suất
của thanh laser
1.78n
và bán kính thanh hoạt (r
0
) lần lượt là 4mm, 3mm,
2mm và 1mm. Vị trí bơm (z
0
) thay đổi từ 1mm đến 20mm, bán kính cong của
gương (R) thay đổi từ 1m đến 20m. Bằng phương pháp đồ thị, kết quả lời giải
cho trường hợp
2
0
5.10W mm
được mô tả trên hình 2.12.
Hình 2.12. Giao điểm giữa các nhánh đồ thị bên trái và các nhánh đồ thị bên phải
là
nghiệm của phương trình (2.33) cho trường hợp
2
0
5.10W mm
.
và trường hợp
2
0
10.10W mm
được mô tả trên hình 2.13.
Hình 2.13. Giao điểm giữa các nhánh đồ thị bên trái và các nhánh đồ thị bên phải
là
nghiệm của phương trình (2.33) cho trường hợp
2
0
10.10W mm
.
Ở đây 5 nhánh đồ thị vẽ cho thành phần bên trái phương trình (2.33)
z
0
[mm]
R[m]
z
0
[mm]
R[m]
61
tương ứng với 5 giá trị của bán kính thanh laser r
0
= 4mm(a), 3mm(b),
2mm(c), 1.5mm(d) và 1mm(e). Còn 5 nhánh đồ thị cho thành phần bên phải
phương trình (2.33) tương ứng với 5 giá trị của chiều dài buồng cộng hưởng:
L = 20mm (5), 40mm (4), 60mm (3), 80mm (2) và 100mm (1).
Từ hình 2.12 và 2.13 ta thấy:
Thứ nhất: ứng với mỗi thành phần bên trái (2.33) thì có nhiều nhánh ở
thành phần bên phải thoả mãn điều kiện phù hợp,
Thứ hai: để có được độ rộng W
EAC
lớn hơn thì vị trí của laser bán dẫn bơm
phải đặt gần tiêu điểm của thanh, tức là thoả mãn điều kiện
0
0
1
r
zf
n
,
Thứ ba: mỗi giao điểm tương ứng với một thể tích chồng lấn với một bộ
tham số riêng biệt, ví dụ: để có điểm cắt nhau được đánh dấu bằng đường tròn
nhỏ (hình 2.12) thì bộ tham số phải là:
2
0 0 0
13.5 , 4 , 5.10z mm r mm W mm
,
20L mm
và
13.75Rm
.
Cuối cùng, tính phù hợp tối ưu nhất giữa khối tâm hoạt bị kích thích với
thể tích mode trong thanh laser sẽ xuất hiện khi có sự lựa chọn thích hợp các
tham số bơm (W
0
, z
0
và
p
), các tham số buồng cộng hưởng (L, R và
L
) cùng
với các tham số của thanh laser (r
0
và n).
2.4. Phân bố tâm hoạt bị kích thích theo trục dọc
2.4.1. Biểu thức phân bố theo chiều dọc của thanh laser
Như đã trình bày, laser rắn bơm ngang bằng laser bán dẫn là công nghệ
laser có nhiều lợi thế và nó thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học
[83], [91-92]. Với công nghệ này có thể thu được hiệu suất cao do khả năng
kết hợp phổ tốt giữa phổ phát xạ của chùm bơm và phổ hấp thụ của hoạt chất
laser rắn (vì sử dụng nguồn bơm kết hợp).
Trong phần trên, chúng tôi cũng đã phân tích phân bố tâm hoạt kích thích
trên mặt cắt ngang của thanh laser nhằm bổ sung những thiếu sót trong công
trình đã công bố của W.Xie [92], nghĩa là trong công trình của W. Xie đã bỏ
62
qua vai trò của khoảng cách giữa các laser bán dẫn và thanh hoạt chất, ảnh
hưởng của các “thấu kính” trong thanh laser do xuất hiện hiệu ứng nhiệt.
Cho đến nay, chưa có công trình nào quan tâm đến phân bố tâm hoạt bị
kích thích dọc theo trục của thanh (hay phân bố năng lượng bơm trong mặt
cắt dọc của hoạt chất laser). Sự phân bố tâm hoạt bị kích thích theo chiều dọc
của thanh bị bỏ qua do giả thiết rằng phân bố năng lượng của các laser bán
dẫn bơm xung quanh thanh laser là như nhau [91-92].
Ở phần này chúng tôi sử dụng nguyên lý tương tác laser với môi trường và
lý thuyết về chùm Gauss để nghiên cứu mối quan hệ giữa mật độ tâm hoạt bị
kích thích theo trục dọc với góc phân kỳ của chùm tia, với khoảng cách giữa các
laser bán dẫn bơm và vị trí của dãy laser bán dẫn so với trục của thanh laser.
Như đã biết, trường xa của laser bán dẫn, nghĩa là phân bố bức xạ đo tại
khoảng cách xa tính từ gương ra có thể xác định bằng hàm tựa Gauss. Gọi góc
phân kỳ của chùm tia laser bán dẫn là
(
0
) và chùm phát xem như phân bố
không gian dạng Gauss [70]:
2
0
0
2
( , ) exp
( ) ( )
W
y
U y z A
W z W z
(2.34)
ở đây y được chọn là trục của thanh, z được chọn là hướng truyền, mặt thắt có
thể được tính [40]:
0
W
, ` (2.35)
và
1/ 2
2
0
( ) 1
z
W z W
b
(2.36)
là bán kính mặt thắt tại điểm z theo hướng truyền;
2
0
W
b
(2.37)
là tham số đồng tiêu.
Cường độ quang
2
( , ) ( , )I y z U y z
là hàm của cường độ tại trục (I
0
) và
63
bán kính y,z được mô tả như hình 2.14 và xác định từ biểu thức (2.34):
2
2
0
0
2
2
( , ) exp
( ) ( )
W
y
I y z I
W z W z
(2.38)
ở đây
2
00
)0,0(AI
.
Hình 2.14. Phân bố cường độ của laser bán dẫn trên tiết diện ngang:
a. Phân bố cường độ của 1 LD [96].
b. Phân bố cường độ của thanh 10 LD [97].
c. Phân bố cường độ của thanh 18 LD [97].
Cấu hình laser rắn bơm ngang bằng hai thanh laser bán dẫn (mỗi thanh có
n laser bán dẫn) đối xứng nhau qua trục hoạt chất tại vị trí
zd
và
zd
,
song song với thanh và nằm trong mặt phẳng (Y,Z) như hình 2.15; khoảng cách
giữa hai laser bán dẫn bơm trong dãy được đặc trưng qua tham số a.
Hình 2.15. Cấu hình laser rắn bơm ngang hai bên bằng thanh laser bán dẫn.
Theo Anhxtanh, mật độ kích thích tâm hoạt tỷ lệ thuận với hệ số hấp thụ
64
Anhxtanh (B), với mật độ tâm hoạt trong thanh (
) và cường độ trường kích
thích I(y,z). Do đó, ta có thể biểu diễn mật độ của tâm hoạt bị kích thích tại
điểm (y,z) cho chùm bên trái thứ i như sau:
2
2
0
,0
2
2 ( 1)
( , ) ( , ) exp ; 1..
( ) ( )
(2.39)
left i
y i a
W
Q y z B I y z B I i n
W d z W d z
và tương tự cho chùm bên phải thứ i:
2
2
0
,0
2
2 ( 1)
( , ) ( , ) exp ; 1..
( ) ( )
(2.40)
right i
y i a
W
Q y z B I y z B I i n
W d z W d z
Chúng ta xem trường quang học của các laser bán dẫn bơm kích thích
tâm hoạt một cách độc lập, nghĩa là tuân theo gần đúng thống kê. Từ (2.39) và
(2.40) chúng ta có phương trình tổng mật độ các tâm hoạt bị kích thích tại
điểm (y,z) trong mặt phẳng (Y,Z) cho tất cả các laser bán dẫn bơm:
,,
11
22
22
00
0
22
1
( , ) ( , ) ( , )
2 ( 1) 2 ( 1)
exp exp
( ) ( ) ( ) ( )
nn
right i left i
ii
n
i
Q y z Q y z Q y z
y i a y i a
WW
BI
W d z W d z W d z W d z
(2.41)
Mật độ của tâm hoạt bị kích thích được biểu diễn trong (2.41) mô tả năng
lượng tích trữ của chùm bơm trong thanh laser. Do đó, phân bố tâm hoạt bị
kích thích theo chiều dọc thanh laser được mô tả bằng phương trình:
0
22
22
00
22
1
( , )
( , )
2 ( 1) 2 ( 1)
exp exp
( ) ( ) ( ) ( )
n
i
Q y z
S y z
BI
y i a y i a
WW
W d z W d z W d z W d z
(2.42)
2.4.2. Ảnh hưởng của các tham số lên phân bố tâm hoạt theo chiều dọc
Sử dụng phần mềm Maple, bằng phương pháp giải số cho d = 40mm và
mỗi bên được bơm bằng 13 laser bán dẫn, chúng tôi thu được kết quả khảo sát
phân bố cường độ bơm trong hoạt chất trên mặt phẳng (Y,Z) như hình 2.16.
65
a
b
c
d
Hình 2.16. Phân bố cường độ bơm của laser bán dẫn trong mặt phẳng (Y,Z) với
0
15 , 0.86 , 40 , 10m d mm a mm
cho chùm bên trái (a), chùm bên phải (b),
cường độ tổng (c) và cường độ bơm hai bên với 13 laser bán dẫn (d).
Do phân bố cường độ bơm có dạng "chu kỳ" (hình 2.16d) nên phân bố
tâm hoạt bị kích thích trong hoạt chất có dạng "chu kỳ". Chính vì vậy chiết suất
dọc theo trục thanh laser bán dẫn có tính chất "chu kỳ". Với tính chất "chu kỳ"
của chiết suất dọc theo trục thanh laser dẫn đến xuất hiện cách tử nhiệt Bragg.
Sự xuất hiện cách tử nhiệt Bragg trong thanh laser sẽ làm ảnh hưởng đến các
thuộc tính của laser phát. Hiện tượng ngoài mong muốn đó có nguyên nhân gây
bởi nhiễu xạ của các chùm Gauss, đặc biệt là sự chồng lấn giữa chúng.
Để tránh những hiện tượng như vậy chúng ta phải nghiên cứu ảnh hưởng
của các tham số (góc phân kỳ -
, khoảng cách giữa các laser bán dẫn bơm
trong dãy - a, và khoảng cách từ dãy laser bán dẫn bơm đến trục của thanh
laser- d) lên phân bố tâm hoạt bị kích thích dọc theo trục của thanh.
Trong hình 2.17, chúng ta khảo sát hàm phân bố tâm hoạt bị kích thích
I(y,z)/I
0
I(y,z)/I
0
I(y,z)/I
0
I(y,z)/I
0
y
z
z
y
y
z
z
y
66
theo chiều dọc của thanh với những khoảng cách d khác nhau trong trường hợp
cố định góc phân kỳ
= 25
0
và giá trị tham số a = 5mm.
y
a
y
b
y
c
y
d
Hình 2.17. Phân bố mật độ tâm hoạt bị kích thích trên trục thanh laser cho
0
25 ,
0.86 , 5m a mm
ứng với giá trị của khoảng cách d: 20mm(a); 15mm(b), 10mm(c)
và 5mm(d).
Từ hình vẽ, ta thấy rằng khi d = 20mm, mật độ tâm hoạt bị kích thích phân
bố đều trên trục của thanh. Đối với những giá trị khác của d thì phân bố mật độ
tâm hoạt bị kích thích xuất hiện dạng “chu kỳ”.
Khi cố định khoảng cách d = 20mm, kết quả phân bố các tâm hoạt bị
kích thích với những giá trị khác nhau của góc phân kỳ được trình bày trên
hình 2.18. Ta thấy rằng, đối với trường hợp góc phân kỳ Ω =35
0
và Ω = 5
0
thì
mật độ phân bố các tâm hoạt bị kích thích sẽ đều hơn trên thanh laser. Trong
những trường hợp khác thì phân bố các tâm hoạt bị kích thích xuất hiện dạng
“chu kỳ” với mức độ khác nhau. Sở dĩ phân bố các tâm hoạt bị kích thích xuất
hiện dạng “chu kỳ” là do phân bố cường độ bơm trong thanh hoạt chất có tính
chất “chu kỳ” như đã đề cập ở trên.
S(y,0)
S(y,0)
S(y,0)
S(y,0)